1913.IV.15 gimė Barzdų kaime (dabar Šakių rajonas).

1920-28 metais mokėsi Kaune, pradžios mokykloje ir „Aušros“ gimnazijoje.

1928-1933 metais mokėsi Kauno Aukštesniojoje technikos mokykloje (ATM).

1931-1932 įstojo į ATM aviacijos būrelį, paruošė T-1 darbo brėžinius ir vadovavo jo statybai.

1932.VIII.15 pirmą kartą su T-1 pakilo į orą.

1932.XI.6 pirmasis Lietuvoje išlaikė sklandytojo A piloto egzaminą.

1933 m. su kitais sklandytojais dalyvavo ekspedicijoje į Nidą, kur įkūrė Sklandymo mokyklą, pastatė savos konstrukcijos angarą.

1933.IX.13 Nidoje tapo pirmuoju sklandytoju C pilotu Lietuvoje.

1934 m. pavasarį išbandyta antroji B.Oškinio konstrukcija - sklandytuvas T-2.

1934 m. po Velykų išvyko į Nidą ir vadovavo Sklandymo mokyklos bendrabučio statybai.

1934.VIII-IX.14 mokėsi skraidyti IV-oje LAK lakūnų laidoje, sudarytoje iš sklandytojų ir išskrido savarankiškai lėktuvu Š-18.

1934.IX.15-1935.IX.15 Karo mokyklos aspirantas, tapo antrojo rango karo lakūnu, įgijo aviacijos atsargos jaunesniojo leitenanto laipsnį.

1935.III.14. ATM aviacijos būrelio nariai pagamino 2 sklandytuvus T-1.

1935 m. gegužę Ukmergės Aukštesniosios amatų mokyklos sklandytojai pagamino sklandytuvą T-1 (iš viso iki 1940 m. Lietuvoje buvo pagaminta virš 10 sklandytuvų T-1).

1935.X-1936.11 dirbo Karo aviacijos dirbtuvėse Kaune.

1936.11.19-1938.VIII. dirbo Zoknių aviacijos bazės dirbtuvių viršininko pavaduotoju, nuo 1936.XII.23 - 3 eskadrilės karo lakūnas.

1936.IV.19 Kaune pakilo į orą B.Oškinio treniruočių sklandytuvas BrO-3 „Pūkas“. 1937 m. gegužę G.Miliūno dirbtuvėse pastatyti dar du BrO-3, pavadinti „Aru“ ir „Giriūnu“.

1936 m. balandį G.Miliūno dirbtuvėse pagaminti 6 B.Oškinio konstrukcijos sklandytuvai: du MO-1 ir du MO-2 (kartu su G.Miliūnu) sklandytojų B ir C sąlygoms vykdyti ir du MOG (kartu su G.Miliūnu ir A.Gysu) - pradinio mokymo.

1937.V.28. pakilo BrO-4 „Rūta“ - vienas pirmųjų akrobatinių sklandytuvų Europoje.

1938 m. gegužę pakilo BrO-5 „Rūta-II“ - patobulintas akrobatinis sklandytuvas.

1938 m. birželį paruoštas treniruočių sklandytuvo BrO-6 „Pūkas-II“ projektas (konstruktorius taip pat nubraižė visus darbo brėžinius).

1938 m. suprojektavo ir pradėjo statyti lengvą vienvietį lėktuvą BrO-7. Pradėjus mokslus užsienyje, lėktuvas neužbaigtas.

1938.IX-1940.VI. Berlyno aukštosios technikos mokyklos, lėktuvų statybos fakulteto studentas.

1940-1943 Vytauto Didžiojo universiteto technologijos fakulteto elektrotechnikos skyriaus studentas.

1940.X-1941.VI. Raudonosios armijos 29 teritorinio šaulių korpuso atskirosios eskadrilės remonto dirbtuvių inžinierius.

1941-1944 metais dirbo Kauno aviacijos dirbtuvėse gamybos kontrolieriumi.

1944.IX-1945.IV filtracinio lagerio Podolske kalinys. Paleistas iš lagerio ir atvykęs į paskirtą kariuomenės dalinį, 1945.VI.1 demobilizuotas.

1949.VIII.15 baigė statyti pirmąjį pokario metais sklandytuvą BrO-10 „Pūkas-III“.

1951.X.24 išrinktas Kauno srities DOSAAF orgkomiteto sklandymo sekcijos pirmininko pavaduotoju.

1952.VI.15-19 išbandytas mokomojo-treniruočių sklandytuvo BrO-9 pirmasis prototipas.

1952.X.16-25 Maskvoje išbandytas antrasis BrO-9 prototipas.

1953.11.6-18 Simferopolyje išbandytas trečiasis BrO-9 prototipas.

1953.VIII-1955.XII Simferopolio ARM pagaminta 320 BrO-9.

1954 m. vasarą pastatytas pradinio mokymo sklandytuvas BrO-11.

1956-1960 metais Simferopolio, Kropotkino ir kt. dirbtuvėse pagaminta apie 2000 sklandytuvų BrO-11. Tuo metu - masiškiausias sklandytuvas pasaulyje.

1956-1958 ir 1959-1962.11. Kauno sklandymo stoties viršininkas.

1957 m. rugpjūtį išbandytas treniruočių sklandytuvo BrO-12 prototipas.

1959-1961 metais Simferopolio ARM pagaminta per 120 BrO-12.

1958.IV.26 išrinktas susikūrusios visuomeninės organizacijos LSSR Aviaklubo pirmininku (AK gyvavo iki tų pačių metų rudens, kai buvo įkurta LSSR Aviacijos sporto federacija ir jos pirmininku išrinktas A.Speičys).

1969 m. rugpjūtį išbandytas mokomasis sklandytuvas BrO-11M „Zylė“ (1970-1977 metais ESAG pagamino 40 vnt, 1989-1991 S.Čepaičio kooperatyvas Panevėžyje - per 160 vnt).

1973 m. pakilo į orą BrO-16 - pirmasis hidrosklandytuvas Lietuvoje.

1974.VIII.17. išbandytas dviejų plyšių sparno sklandytuvas BrO-17S „Bitelė“.

1974 m. spalį pradėjo skraidyti dviejų plyšių sparno hidrosklandytuvas BrO-17V „Antelė“.

1975.IX.22 pakilo trijų plyšių sklandytuvas BrO-18 „Boružė“ - mažiausias sklandytuvas pasaulyje.

1977 m. rugpjūtį išbandytas BrO-20 „Pūkelis“ - lengviausias sklandytuvas pasaulyje. Pagamintas naudojant nerviūrų ir lonžeronų išpynimo iš stiklo virvių technologiją. Išbandytas ir su plūde, velkamas paskui motorlaivį.

1980.VI.20 pakilo mokomasis sklandytuvas iš stiklaplasčio su dviejų plyšių sparnais BrO-21 „Vyturys“.

1981 m. pavasari užbaigtas stiklaplastinis sklandytuvas-skraidyklė BrO-22 „Rūtelė“ . Bandytas kaip skraidyklė ir kaip sklandytuvas, taip pat ir su plūde.
1981 m. gegužę pastatytas mokomasis sklandytuvas BrO-23KR „Garnys“.

1982 m. projektavo, vadovavo ir pats daugiausiai darbavosi statydamas lėktuvų Albatros B.II ir WACO maketus Lietuvos kino studijos vaidybiniam filmui apie Darių ir Girėną; talkino filmavimo darbuose.

1984 m. pagamino dar vieną BrO-23 Panevėžyje.

1985.IV.7 mirė Palangoje ir palaidotas šio miesto kapinėse.

1992 m. įsteigta vaikų aviacijos mokykla.

1993 m. Gatvė Palangoje pavadinta B.Oškinio vardu.